domingo, 17 de mayo de 2015

5.6 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso

La elasticidad de la demanda

Hay algunos bienes cuya demanda es muy sensible al precio, pequeñas variaciones en su precio provocan grandes variaciones en la cantidad demandada. Se dice de ellos que tienen demanda elástica. Los bienes que, por el contrario, son poco sensibles al precio son los de demanda inelástica o rígida. En éstos pueden producirse grandes variaciones en los precios sin que los consumidores varíen las cantidades que demandan. El caso intermedio se llama de elasticidad unitaria.

La elasticidad de la demanda se mide calculando el porcentaje en que varía la cantidad demandada de un bien cuando su precio varía en un uno por ciento. Si el resultado de la operación es mayor que uno, la demanda de ese bien es elástica; si el resultado está entre cero y uno, su demanda es inelástica.

Los factores que influyen en que la demanda de un bien sea más o menos elástica son:

1) Tipo de necesidades que satisface el bien. Si el bien es de primera necesidad la demanda es inelástica, se adquiere sea cual sea el precio; en cambio si el bien es de lujo la demanda será elástica ya que si el precio aumenta un poco muchos consumidores podrán prescindir de él.

2) Existencia de bienes sustitutivos. Si existen buenos sustitutos la demanda del bien será muy elástica. Por ejemplo, un pequeño aumento en el precio del aceite de oliva puede provocar que un gran número de amas de casa se decida por usar el de girasol.

La elasticidad de la demanda. Pulse en la imagen para ver una explicación animada.

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3) Importancia del bien en términos de coste. Si el gasto en ese bien supone un porcentaje muy pequeño de la renta de los individuos, su demanda será inelástica. Por ejemplo, el lápiz. Las variaciones en su precio influyen muy poco en las decisiones de los consumidores que desean adquirirlos.

4) El paso del tiempo. Para casi todos los bienes, cuanto mayor sea el período de tiempo considerado mayor será la elasticidad de la demanda. Puede ser que al aumentar el precio de la gasolina, su consumo no varíe mucho, pero al pasar el tiempo podrá ser substituida en algunos de sus usos por el carbón, en otros usos por el alcohol, de forma que la disminución en la demanda sólo se nota cuando pasa el tiempo.

5) El precio. finalmente hay que tener en cuenta que la elasticidad de la demanda no es la misma a lo largo de toda la curva. Es posible que para precios altos la demanda sea menos elástica que cuando los precios son más bajos o al revés, dependiendo del producto de que se trate.

Hay diferentes clases de elasticidad. El fenómeno que hemos estado analizando bajo el nombre de "elasticidad" a secas, podríamos haberlo llamado con mayor propiedad elasticidad-precio ya que se trataba de medir la sensibilidad de la demanda a las variaciones en los precios. Pero la demanda puede ser también más o menos sensible a otros factores. Llamaremos elasticidad-renta a la medida de la sensibilidad de la demanda de un bien a las variaciones en la renta del consumidor. Llamaremos elasticidad cruzada a la medida de la sensibilidad de la demanda de un bien a las variaciones en el precio de otros bienes.

Mercado campesino en Honduras

Según vimos antes, cuando la renta de un individuo aumenta, su consumo de todos los bienes aumentará también. Sin embargo eso no es siempre cierto. Hay algunos bienes, los llamados bienes inferiores, que se caracterizan por el hecho de que al aumentar la renta de los individuos disminuye el consumo de ellos. El ejemplo clásico es el de las patatas o, en general, el de los alimentos ricos en féculas. Conforme aumenta la renta de los individuos y de las sociedades, estos alimentos son substituidos por otros más ricos en proteínas, la carne, por ejemplo. Hay otros bienes, por el contrario, cuyo consumo aumenta más que proporcionalmente al aumentar las rentas. Son los bienes de lujo.

Para medir la sensibilidad de los bienes a las variaciones en la renta de los individuos se utiliza el concepto de elasticidad-renta: porcentaje en que varía la cantidad demandada de un bien cuando la renta del consumidor varía en un uno por ciento. En el caso de los bienes inferiores, la elasticidad-renta es negativa ya que el aumento de ésta provoca la contracción de la demanda de aquellos. La elasticidad-renta de los bienes de lujo es muy alta ya que las variaciones en la renta provocan grandes variaciones en la cantidad demandada. Los bienes de primera necesidad, a diferencia de los bienes inferiores, tienen la elasticidad-renta de la demanda positiva pero muy pequeña, en otras palabras, su demanda es inelástica con respecto a la renta. Finalmente, los bienes normales mostrarán una elasticidad-renta unitaria, es decir, su demanda aumentará aproximadamente en la misma proporción en que lo haga la renta de los individuos.

Las relaciones que existan entre bienes permiten otra forma de clasificación. Se llaman bienes complementarios a los que son consumidos conjuntamente: los coches y la gasolina, los canarios y las jaulas. La peculiaridad de estos bienes es que cuando aumenta el precio de uno disminuye la cantidad demandada del otro. El fenómeno opuesto puede observarse en el caso de los bienes sustitutivos o sustituibles, los que pueden utilizarse de forma alternativa: el aceite de oliva y el de girasol. En este caso el aumento del precio de uno provoca el aumento de la cantidad demandada del otro.

Para medir la sensibilidad de la demanda de un bien a las variaciones en el precio de otro se utiliza la elasticidad cruzada: porcentaje en que varía la cantidad demandada de un bien cuando el precio de otro varía en un uno por ciento. La elasticidad cruzada será positiva si las variaciones en el precio y en la cantidad demandada van en el mismo sentido, es decir, en el caso de los bienes sustitutivos. Como el sentido del cambio es diferente entre el precio y la demanda de los bienes complementarios, su elasticidad cruzada será negativa

5.5 Optimización de funciones económico - administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios: minimización de funciones de costos y de costos promedio.

FUNCION DE COSTOS:

A corto plazo algunos costos son fijos y algunos son variables. Los COSTOS TOTALES (CT) son equivalentes a la suma de los costos variables totales (CV) más costos fijos totales (CF).

CT = CF + CV

COSTOS FIJOS:

Los costos fijos no varían de acuerdo con el volumen de producción. Son constantes. Por ejemplo: alquileres, salario de gerentes, etc.

COSTOS VARIABLES:

Los costos variables dependen del volumen de producción. Por ejemplo: materias primas, salarios de mano de obra directa, etc.

La forma de la gráfica de costos variables se debe a los rendimientos marginales decrecientes.

De acuerdo con lo anterior los costos totales quedan de la manera siguiente:

COSTO PROMEDIO O COSTO MEDIO (CMe) son los costos por unidad de producción. Los costos medios totales se calculan como el costo total entre la cantidad producida.

La curva de costo medio total a corto plazo es en forma de U, debido a que la disminución de los costos fijos promedio hace que los costos disminuyan a niveles bajos de producción. En niveles de producción más elevados, el marcado aumento en los costos variables promedio anula el efecto de la disminución de los costos fijos.

COSTO VARIABLE MEDIO (CVMe) son los costos variables unitarios, es decir, los costos variables totales dividos entre el número de unidades producidas.

COSTO MARGINAL (CM) es el costo extra de producir una unidad adicional de producto. Se calcula como:

El costo marginal se origina a medida que aumenta la producción, ya sea inmediatamente o en niveles bajos de producción si los rendimientos decrecientes aparecen con alguna demora.
Cuando los costos marginales son inferiores a los costos promedio, los costos medios están bajando; cuando los costos marginales son superiores a los costos medios, los costos medios están aumentando; cuando los costos marginales son iguales a los costos medios, los costos medios están en su punto mínimo.
La curva del costo marginal cruza la curva del costo promedio total y la curva del costo variable promedio en sus puntos mínimos.

Ejemplo numérico: Suponga que una empresa contrata factor fijo al precio de ¢2 por unidad y factor variable al precio de ¢3 por unidad y se conoce que puede producir, dada la tecnología, de acuerdo con la siguiente tabla:

K	L	PFT = Q
3	0	0
3	1	6
3	2	14
3	3	20
3	4	24
3	5	22

Calcule PFM, PFMe, CV, CF, CT, CM, CMe y CVMe.

K	L	PFT	PFM	PFMe	CF	CV	CT	CM	CVMe	CMe
3	0	0	-	-	6	0	6	-	-	-
3	1	6	6	6	6	3	9	0.5	0.5	1.5
3	2	14	8	7	6	6	12	0.38	0.43	0.86
3	3	20	6	6.67	6	9	15	0.5	0.45	0.75
3	4	24	4	6	6	12	18	0.75	0.5	0.75
3	5	26	2	5.2	6	15	21	1.5	0.58	0.81

Gráficamente:

Costo total

Costos marginales, medios y variables medios

COSTOS A LARGO PLAZO

Con relación al largo plazo es importante señalar algunos puntos:

NO HAY COSTOS FIJOS A LARGO PLAZO.
A MEDIDA QUE UNA EMPRESA AMPLÍA SUS FACTORES DE COSTO FIJO (por ejemplo, planta física), se mueve de una curva del costo promedio de corto plazo a otra.
LA CURVA DEL COSTO MEDIO A LARGO PLAZO (CMLP): se compone por el límite más bajo de todas las curvas a corto plazo. Muestra la forma menos costosa de producir cualquier nivel determinado de producción.

LAS ECONOMÍAS DE ESCALA OCURREN SI. los costos promedio a largo plazo están disminuyendo. Hay mayor especialización posible de la mano de obra a medida que se amplía la escala de una empresa. A medida que los trabajadores se especializan y producen más, suben en la “curva del aprendizaje” y su productividad se incrementa.
LOS RENDIMIENTOS CONSTANTES A ESCALA OCURREN SI: a largo plazo, los costos promedio son constantes. El costo por unidad de producción no cambia en esta escala de producción.
LAS DESECONOMÍAS DE ESCALA OCURREN SI: a largo plazo, los costos promedio están aumentando. Lo cual puede ocurrir por algunas de las siguientes razones:
- Los gerentes experimentan mayores dificultades en la supervisión de los trabajadores o en la administración del inventario o de la tecnología, a medida que se incrementa la escala de sus responsabilidades.
- Se incrementan los costos de monitoreo.
- Hay competencia en vez de cooperación entre los empleados.
- Los empleados tienen la impresión de que su trabajo es insignificante, lo que resulta en una producción más baja por trabajador.

LA FORMA DE LA CURVA DE COSTO PROMEDIO A LARGO PLAZO (CMLP): por lo común muestra un período inicial de economías de escala; después habrá costos constantes seguidos de deseconomías de escala.

SI LAS DESECONOMÁS DE ESCALA SE INICIAN TAN PRONTO COMO TERMINAN LAS ECONOMÍAS DE ESCALA (CMLP) en forma de U, hay un tamaño de planta único que minimiza el costo por unidad de la producción para la empresa.

SI LAS ECONOMÍAS DE ESCALA OCURREN INDEFINIDAMENTE, una empresa se puede ampliar indefinidamente a los costos más bajos por unidad para servir a todo el mercado. Esto es característico de un monopolio “natural” que por lo menos es propiedad del gobierno o está regulado por él.

SI LA CURVA DEL COSTO PROMEDIO SE VUELVE PLANA, por lo menos para una porción de la producción, no hay un tamaño de planta único. Éste es el caso más frecuente en el mundo de negocios.

La escala eficiente mínima es la cantidad de producción más pequeña en la que el costo promedio a largo plazo alcanza su nivel más bajo

5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba y prueba de la segundaderivada.

Concavidad y Punto de inflexión

Enseguida te invito a que observes con detenimiento el comportamiento de la siguiente gráfica la cual muestra cómo cambia la estatura de una persona respecto al tiempo.

Como puedes apreciar, al principio la gráfica no es muy inclinada. Sin embargo, la inclinación aumenta conforme la persona avanza en su edad, es decir, los aumentos de estatura son muy notorios en los primeros años de vida de una persona, ello hasta que la gráfica llega a un punto de máxima inclinación, después, aunque la gráfica sigue siendo creciente, la tasa de incremento o razón de cambio es menor que al principio, es decir, la razón de cambio (primera derivada o pendiente de la recta) disminuye en relación con la mostrada en los primeros años. Al punto de la curva donde se alcanza la mayor estatura se le conoce en economía, por razones obvias, como Punto de los Rendimientos Decrecientes.

Este incremento o decremento de la pendiente de la tangente se puede describir en términos de una característica llamada Concavidad, la cual queda definida de la siguiente manera:

•	La gráfica es cóncava hacia arriba si su primera derivada es creciente en el intervalo de prueba
•	La gráfica es cóncava hacia abajo si su primera derivada es decreciente en el intervalo de prueba

Ya que conoces los procedimientos para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función f y para determinar los extremos relativos, hago de tu conocimiento que juntos forman lo que se conoce como Criterio de la Primera Derivada cuyos pasos están resumidos enseguida:

Ejemplo 34:

Los siguientes ejercicios tienen su respuesta para que verifiques tus resultados:

Resolver los siguientes ejercicios:

5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos yminimos

Criterio de la primera derivada para los extremos relativos (o extremos locales):

1) Si el signo de la derivada es positivo a la izquierda del punto crítico y negativo a la derecha, entonces el punto crítico es un máximo relativo.

2) Si el signo de la derivada es negativo a la izquierda del punto crítico y positivo a la derecha, entonces el punto crítico es un mínimo relativo.

3) Si el signo de la derivada es el mismo a la izquierda y derecha del punto crítico, entonces el punto crítico no es ni máximo ni mínimo relativo.

Ejemplos para discusión:

Halla los extremos relativos de la f(x) = 3x⁵ - 20x³ en el intervalo (-5,5) y construye la gráfica.

Construye la gráfica de f(x) = abs(x² - 1) en una calculadora gráfica en el intervalo (-3,3) y señala cuáles son los máximos y mínimos relativos.

Ejercicio de práctica: Halla los extremos relativos de f(x) = x³ - 3x²+ 2 y construye la gráfica.

Otros ejemplos para discusión:

1) Sea f’ (derivada de f) la

5.2 Extremos relativos y extremos absolutos

Extremos relativos

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

Si f'(a) = 0.

Si f''(a) ≠ 0.

Máximos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

f'(a) = 0

f''(a) < 0

Mínimos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

f'(a) = 0

f''(a) > 0

Cálculo de máximos y mínimos

Para hallar los extremos localesseguiremos los siguientes pasos:

1 Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

2 Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si:

f''(a) < 0 es un máximo relativo

f''(a) > 0 es un mínimo relativo

3 Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

Ejemplo

Calcular los máximos y mínimos de:

f(x) = x³ − 3x + 2

f'(x) = 3x² − 3 = 0

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f''(1) = 6 Mínimo

f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)³ − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

5.1 Funcion Creciente & Decreciente

Información sobre la gráfica de una función

Función Creciente y Decreciente

ILUSTRACION

Observa que parte de la gráfica se eleva, parte de la gráfica baja y parte de la gráfica es horizontal. En estos casos se dice que la gráfica crece, decrece o es constante.

Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x₁, f(x₁) ) y ( x₂, f(x₂) ) con

x₁	<	x₂	Se tiene que	f(x₁)	<	f(x₂).
Prevalece la relación <

Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x₁, f(x₁) ) y ( x₂, f(x₂) ) con

x₁	<	x₂	Se tiene que	f(x₁)	>	f(x₂).
Cambia la relación de < a >

Una función f se dice que es constante si al considerar dos puntos de su gráfica, (x₁, f(x₁) ) y ( x₂, f(x₂) ) con

x₁	<	x₂	Se tiene que	f(x₁)	=	f(x₂).
Las y no cambian, son fijas

Considera la siguiente gráfica:

Los intervalos donde la gráfica es creciente son

[ 2.8, 3.6 ]

[ 5.2, 6 ]

El intervalo donde la gráfica es decreciente es

[ 3.6, 5.2 ]

El intervalo donde la gráfica es constante es

[ - 4, 2.8 ]

Ver página 149 figura 5.

Un punto de viraje es aquel donde ocurre un cambio en la gráfica:

cambia de creciente a decreciente o cambia de decreciente a creciente.

Ver página 148 figura 3 y 4 e indica el punto de viraje; Ver página 149 figura 5ª y 5d e indica el punto de viraje.

Un punto de discontinuidad es un punto donde se produce un brinco en la gráfica.

PRACTICA - usa la siguiente gráfica y contesta

1- ¿ Será la gráfica de una función ? Explica.

2- ¿ Cuál es el valor de la función f si x = - 4 ?, ¿ Si x = 1 ?

3- Halla los interceptos; en el eje de x, en el eje de y.

4- Menciona intervalos donde la gráfica es crece.

5- Menciona intervalos donde la gráfica es decrece.

6- Menciona intervalos donde la gráfica es constante.

7- Menciona los puntos de viraje y los puntos de discontinuidad.