5.2 Extremos relativos y extremos absolutos

Extremos relativos

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

Si f'(a) = 0.

Si f''(a) ≠ 0.

Máximos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

f'(a) = 0

f''(a) < 0

Mínimos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

f'(a) = 0

f''(a) > 0

Cálculo de máximos y mínimos

Para hallar los extremos localesseguiremos los siguientes pasos:

1 Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

2 Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si:

f''(a) < 0 es un máximo relativo

f''(a) > 0 es un mínimo relativo

3 Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

Ejemplo

Calcular los máximos y mínimos de:

f(x) = x³ − 3x + 2 

f'(x) = 3x² − 3 = 0

f''(x) = 6x 

f''(−1) = −6  Máximo 

f''(1) = 6 Mínimo 

f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)³ − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)